Установка и настройка велокомпьютера на электровелосипеде E-Trail
Добиться высоких результатов в спорте можно только путём ежедневного совершенствования, превосходя предыдущие показатели...
Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:
Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).
Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.
Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.
Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.
Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.
В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:
В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:
В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:
К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.
ПРИМЕР 1
Задание | Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна
|
Решение | Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:
Оно имеет решение +B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим: Следовательно Получим: В результате имеем: |
Ответ | Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией |
ПРИМЕР 2
Задание | Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу). |
Решение | Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде: |
Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}
, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \operatorname{grad}F
в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2
, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .
Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f (x)
имеет в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ x_0
непрерывную вторую производную Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x)
, то, как это следует из формулы Тейлора
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0+r)=f(x_0)+rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2),
при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0-r)=f(x_0)-rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2),
при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): r\to 0,
вторая производная есть предел
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.
Если, переходя к функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
от Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)
рассматривать её Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ k
-мерную шаровую окрестность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r
радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r
и разность между средним арифметическим
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma
функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
на границе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ S_r
такой окрестности с площадью границы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \sigma(S_r)
и значением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F(M_0)
в центре этой окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
, то в случае непрерывности вторых частных производных функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ M_0
значение лапласиана Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F
в этой точке есть предел
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F
, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \omega(Q_r)
- объём окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r.
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.
Доказательство этих формул можно найти, например, в .
Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F.
Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_1,\ q_2,\ q_3
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\
- коэффициенты Ламе .
В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r)
в n
-мерном пространстве:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.
Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij}
- риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
, то есть метрика имеет вид
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j
.
Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij}
элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1}
и
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}
.
Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): F
, заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}
) на многообразии X
вычисляется по формуле
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)
,
а компоненты градиента функции f - по формуле
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.
Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
|
Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.
Рисунок 1 – элемент системы управления с входом и выходом
Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.
Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:
Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:
Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря
Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:
Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.
Рисунок 2 – интегрирование и дифференцирование сигнала
Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.
Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:
Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:
Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:
Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.
Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!
лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой
(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма
).
Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой
пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид
где - локальные координаты на М.
Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики
Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид
где d -
оператор внешнего дифференцирования формы, d* -
формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:
где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р
)-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде
Здесь - ковариантные производные по
Тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс
где Е р -
действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г
( Е р
) -
пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р
эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М,
можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р.
Тогда определены операторы d*,
формально сопряженные к операторам d.
По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р
).
Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.
На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы
где - пространство гладких форм типа ( р, q
).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М,
можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):
Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М -
кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то
Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:
В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р
(в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений
Лит.
: Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Естествознание. Энциклопедический словарь
Большой энциклопедический политехнический словарь
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Большая Советская энциклопедия
Большая Советская энциклопедия
Большая Советская энциклопедия
Большой энциклопедический словарь
Сахар Лапласа История Ф. Араго: в юности попал в плен к пиратам, потом выкуплен (каким-то англичанином в Египте?), вернувшись, стал активнейшим учёным, работал с Ампером и в оптике. Его выдвинули в Академию наук. Кандидат (до сих пор) должен посетить всех голосующих и
Принцип Лапласа В конечном счете, я не стал верующим, но и не превратился в атеиста. Мне казалось, что любые категоричные утверждения в этой сфере, лежащей на границе разума и эмоций – неуместны. Недоказуемо всё. Никакая логика не поможет в решении этого вечного вопроса.
Демон Лапласа 200 лет назад в науке господствовал детерминизм. Воодушевленные открытиями Ньютона, ученые рассматривали вселенную как часовой механизм. Французский математик Пьер Симон Лаплас хорошо выразил суть детерминизма в своем знаменитом труде «Опыт философии
43. Демон, Лапласа Гипотетическое сверхсущество, обладающее исчерпывающими знаниями о состоянии Вселенной и способное на основе этого точно предсказывать будущие изменения. Вспомните хотя бы пролов из «Особого мнения»: если бы они могли видеть не только грядущие
Правило 52: Если вы написали оператор new с размещением, напишите и соответствующий оператор delete Операторы new и delete с размещением встречаются в C++ не слишком часто, поэтому в том, что вы с ними не знакомы, нет ничего страшного. Вспомните (правила 16 и 17), что когда вы пишете такое
1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов Центральное место в языке структурированных запросов SQL занимает оператор Select, с помощью которого реализуется самая востребованная операция при работе с базами данных – запросы.Оператор Select
15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete() Оператор-член new() может быть перегружен при условии, что все объявления имеют разные списки параметров. Первый параметр должен иметь тип size_t:class Screen {public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...};Остальные параметры
Оператор Лапласа определяется выражением
и в декартовой системе координат описывается формулой
Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат
Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим
Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.
Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой
Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.
Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим
Уравнением Лапласа называют уравнение вида.
Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.
Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.
Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид
Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует
где и - произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.
Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид
Нетрудно найти решение этого уравнения
Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса, если
Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде
Решим это уравнение
градиент криволинейный ламе дифференциальный
Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что, получим. Из условия получим
Следовательно, имеем окончательный ответ